Formules de duplication et bissection

Propriétés  Formules de duplication

Pour tout réel \(\alpha\)

• \(\text{cos}(2\alpha)=\text{cos}^2(\alpha)-\text{sin}^2(\alpha)\)
  
• \(\text{sin}(2\alpha)=2\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\alpha)\)
  

Exemple

On veut déterminer \(\text{cos}\left(\dfrac{2\pi}3\right)\) et \(\text{sin}\left(\dfrac{2\pi}3\right)\)  en utilisant la formule de duplication. 
  \(\text{cos}\left(\dfrac{2\pi}3\right)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\pi}3\right)-\text{sin}^2\left(\dfrac{\pi}3\right)=\left(\dfrac{1}2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}2\right)^2=\dfrac{1}4-\dfrac{3}4=-\dfrac{1}2\)
  \(\text{sin}\left(\dfrac{2\pi}3\right)=2\times \text{sin}\left(\dfrac{\pi}3\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}3\right)=2\times\dfrac{\sqrt{3}}2\times\dfrac 1 2=\dfrac{\sqrt{3}}2\)  

Démonstration

On utilise les formules de somme avec \(\beta=\alpha\) .
Pour tout réel  \(\alpha\) ,  \(\text{cos}(2\alpha)=\text{cos}(\alpha+\alpha)=\text{cos}(\alpha)\times\text{cos}(\alpha) -\text{sin}(\alpha)\times \text{sin}(\alpha)=\text{cos}^2(\alpha)-\text{sin}^2(\alpha)\)
\(\text{sin}(2\alpha)=\text{sin}(\alpha+\alpha)=\text{sin}(\alpha)\times\text{cos}(\alpha)+\text{cos}(\alpha)\times\text{sin}(\alpha)=2\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\alpha)\)

Propriétés   Formules de bissection

Pour tout réel \(\alpha\)

• \(\text{cos}\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}2}\)
  
• \(\text{sin}\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\text{cos}(\alpha)}2}\)
  

Le symbole \(\pm\) signifie que le signe du résultat est à choisir au cas par cas selon l'intervalle auquel appartient le réel \(\dfrac{\alpha}2\) .

Exemple
On veut calculer \(\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)\) .
D'une part, on remarque \(\dfrac{\pi}8=\dfrac 1 2 \times \dfrac{\pi}4\) et, d'autre part,  \(\dfrac{\pi}8\in \left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) . On en déduit   \(\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)>0\) et, par la formule de bissection,   \(\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)=\sqrt{\dfrac{1+\text{cos}\left(\dfrac{\pi}4\right)}2}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\) .

Démonstration

• On utilise l'égalité \(\alpha=2\times\dfrac{\alpha}2\) et on écrit, pour tout réel \(\alpha\) ,  \(\text{cos}(\alpha)=\text{cos}\left(2\times\dfrac{\alpha}2\right)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\) .
  Pour tout réel  \(\alpha\) , \(\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)+\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1\) , c'est à dire   \(\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\) et on en déduit \(\text{cos}(\alpha)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-(1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right))\)
  puis \(\text{cos}(\alpha)=2\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-1\) qui équivaut à \(\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}2\) , d'où le résultat.
  
• Pour tout réel \(\alpha\) , \(\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)+\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1\) .
  On écrit \(\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1-\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}{2}=\dfrac{1-\text{cos}(\alpha)}{2}\) d'où le résultat.